هنوز دقیقا نمی دانم نحوه ی ارسال یا نوشتن مطالب چگونه باشد. تصمیم گرفتم در حال حاضر هر مطلبی که آماده می شود را در همین وبلاگ قرار دهم. سپس وقتی مطالب آموزشی کامل شد٬ آنها را مرتب کرده و با ترتیب و ساختار مناسبی برای قرار گرفتن در سایت درس٬ بفرستم. پس در حال حاضر مطالب را بدون ترتیب خاصی روی همین وبلاگ قرار میدهم تا در نهایت به ساختار درست دست پیدا کنم.
توزیع پواسون
توزیع پواسون یک توزیع گسسته است که در مقادیر ...,r=0,1,2,3 رخ می دهد. اغلب به عنوان مدلی برای رخدادهایی که در یک بازه ی زمانی خاص اتفاق میفتند٬ مورد استفاده قرار می گیرد.
تابع توزیع برای توزیع پواسون عبارت است از :
که در آن:
=mean and variance
...e = 2.718281828
...,r=0,1,2
توزیع پواسون توزیعی برای رخدادهای کمیاب است. موقعیتهایی که بطور مثال می توانند منجر به یک توزیع پواسون شوند عبارتند از :
-
تصادف ها در یک بازه ی زمانی خاص
-
تلفنهای دریافت شده در طول یک بازه ی زمانی
-
تعداد اتومبیلهای گذرنده از زیر یک پل در یک دوره ی زمانی داده شده
توزیع پواسون مثالی از یک تابع چگالی احتمال است٬ زیرا
مثال :
میانگین تعداد باکتری ها در هر میلی لیتر از مایع برابر ۴ شناخته شده است. فرض کنید از یک توزیع پواسون پیروی کند. پیدا کنید احتمال اینکه :
a) در ۱ میلی لیتر از مایع داشته باشیم
-
هیچ باکتری
-
۲ باکتری
-
بیشتر از ۵ باکتری
b) در ۳ میلی لیتر از مایع کمتر از ۲ باکتری موجود باشد
کاربردهای توزیع پواسون:
توزیع پواسون کاربردهای مختلف و متنوعی دارد. یکی از این کاربردها نظریه ی گردش ترافیک می باشد که می تواند برای تعیین تعداد اتومبیلها در یک طول ثابت از جاده یا تعیین تعداد اتومبیلهای گذرنده از یک نقطه در یک بازه ی زمانی خاص٬ مورد استفاده قرار گیرد. این می تواند به حل مشکلات ترافیکی کمک کند٬ مثلا برای تعیین اینکه آیا چراغهای راهنمایی برای یک قسمت خاص از جاده برای کنترل جریان ترافیک مورد نیاز هستند یا خیر.
مثال:
در آزمایشی انجام شده با استفاده از توزیع پواسون٬ تعداد اتومبیلهای گذرنده از زیر یک پل عابر پیاده در هر دقیقه٬ در کل مدت ۲۰ دقیقه ای٬ ثبت شد . نتایج آن به شرح زیر است :
از آنجایی که تعداد اتومبیلهایی که از زیر پل عبور کردند بین ۶ و ۲۳ بود٬ انتظار داریم جمع احتمال ها تقریبا برابر با ۱ بشود. اگر اعداد 0,1,2,3,4,5 و ...,24,25 را نیز اضافه می کردیم٬ از آنجایی که توزیع پواسون یک تابع چگالی احتمال است٬ مجموع احتمالات برابر عدد ۱ می شد.
نتیجه گیری : این نشان می دهد که یک جریان یکنواخت ترافیکی در زیر این پل وجود دارد٬ لذا مقیاس کنترل ترافیکی برای این بخش از جاده مورد نیاز نیست.
دیگر کاربردهای توزیع پواسون :
صنعت: یافتن قابلیت اعتبار ماشین آلات با نگاه کردن به تعداد ازکارافتادگی ها در یک دوره ی داده شده
کشاورزی و جانورشناسی: توزیع گیاهان و جانوران از توزیع پواسون پیروی می کند.
زیست شناسی : نمونه گیری از باکتری ها در یک حجم داده شده و تخمین ارقام در سری های رقیق سازی شده
پزشکی : توزیع پواسون می تواند برای شمارش تعداد قربانی های یک بیماری خاص مثلا تعیین تعداد مرگ و میرهای ناشی از مالاریا در یک سال٬ مورد استفاده قرار گیرد.
مخابرات : تعداد تماس ها در یک زمان داده شده از توزیع پواسون پیروی می کند که می تواند مثلا برای تعیین تعداد خطوط آزاد بکار رود.
رده بندی ها و صفوف انتظار : توزیع پواسون می تواند جهت بسیاری از صف ها و رده بندی ها مورد استفاده قرار گیرد. مثلا برای صف های انتظار پزشکان٬ بیمارستانها٬ جاده ها٬ ترافیک هوایی٬ ...
مثال های دیگر : تعداد کلمات بدترجمه شده در یک متن٬ تعداد کلمات بدچاپ شده در متن٬ تعداد تکرار کلمه ای خاص در متن موردنظر٬ مقدار ریزش باران در یک ماه٬ تعداد آتش سوزی های گزارش شده در یک دوره ی زمانی ثابت٬ ...
تقریب پواسون به دوجمله ای :
در شرایط خاص (n>50, p<0.1) می توانیم از توزیع پواسون به عنوان تقریبی برای توزیع دوجمله ای استفاده کنیم. این یک مزیت است زیرا توزیع پواسون کمی کمتر وقت گیر است.
مثال :
یک کارخانه توپ های پارچه را در بسته های ۵۰۰ تایی بسته بندی می کند. احتمال آنکه یک توپ پارچه معیوب باشد 0.002 است. احتمال اینکه یک بسته دارای دو توپ پارچه ی معیوب باشد را پیدا کنید.
X~Bin(500,0.002)
با استفاده از توزیع دو جمله ای:
P(X=r) = nCr Pr (1-P)(n-1)
= 500C2 (0.002)2 (0.998)498 = 0.1841238 = 0.18 (2.s.f)
:با استفاده از توزیع پواسون
(سعی میکنم در اولین فرصت ممکن روی قالب کار کنم)
... با اولین جستجو متوجه شدم دلیل آن فقط و فقط به خاطر نام شخص سیمون دنیس پواسون (Simon Denis Poisson)، یعنی کسی که برای اولین بار این مفهوم را معرفی کرد، می باشد. 
جناب پواسون (۱۸۴۰-۱۷۸۱)، ریاضیدان و فیزیکدان معروف فرانسوی، به