واضح است که در صورت در اختیار داشتن فرصت بیشتر٬ قادر به تهیه ی مطالب آموزشی قوی تر٬ دقیق تر و جامع تری بودیم. بهرحال سعی خود را کردم که بهترین منابع و ساده ترین آنها را جمع آوری کنم. امیدوارم که مورد استفاده قرار گرفته و مفید واقع شوند.

با تشکر مجدد از زحمات شما در طول ترم و همچنین بعد از آن

سیما سلیمانی نیا

زمستان 83

فرآیندهای نقطه ای :

یک تفهیم نوعی برای فرآیند نقطه ای بصورت «توده ی انبوهی از نقاط» می باشد. در واقع می توان گفت یک فرآیند نقطه ای مجموعه ای از زمان ها یا مکان ها و یا هر دو٬ مجموعه ای از رخدادها در زمان یا اشیاء در فضا٬ می باشد.

در فر آیندهای نقطه ای ترتیبی برای داده ها از نظر زمانی و مقداری وجود ندارد.

به عنوان مثال برای فرآیندهای نقطه ای :

• زمان هایی که در یک منطقه ی خاص زلزله رخ می دهد.
• زمان هایی که یک نرون برانگیخته می شود.
• مکان هایی در طول بزرگراه که در آنها تصادفات جاده ای رخ داده است.
• مکان های درختان در یک جنگل
• زمان ها و مکان های زمین لرزه ها
• مکان ستارگان در کهکشان

طرح کلی یک فرآیند نقطه ای به این صورت است که ما مجموعه ای از مکان ها در زمان و/یا  فضا داریم. هر رخداد دارای فقط یک زمان برای وقوع یا یک مکان در فضا است. این مفهوم را می توانیم با نسبت دادن یک اندازه برای هر رخداد در مجموعه٬ تعمیم دهیم. برای مثال٬ بزرگی یک زمین لرزه یا اندازه ی یک درخت یا گونه ی یک ستاره.

نظریه ی فرآیند نقطه ای٬ مدلهای احتمالی ای را ایجاد می کند که رابطه ی بین زمان ها و مکان های رخدادها یا اشیا را با روشهای آماری برای استخراج این قبیل اطلاعات از داده های مشاهده شده٬ شرح می دهد. هدف٬ دریافت یک فهم بهتر از فرآیندهای فیزیکی که به این طرح ها منجر شده اند٬ می باشد. برای تخمین تاثیری که فاکتورهای برونی بر این زمان ها و مکان ها دارند و شاید هم برای پیش بینی رخدادهای مشابه در آینده.

فرآیندهای نقطه ای ممکن است برای تخمین خم های غیرپارامتری٬ نظریه ی نمونه سازی٬ نظریه ی مقدار بی نهایت٬ بازسازی تصاویر و ... به کار برده شود.

فرآیند پواسون نقطه ای :

اسامی را با یکدیگر اشتباه نگیرید!

• توزیع پواسون : یک متغیر تصادفی
• فرآیند پواسون : مجموعه ای از متغیرهای تصادفی اندیس گذاری شده توسط زمان
• فرآیند پواسون نقطه ای : مجموعه ای از متغیرهای تصادفی اندیس گذاری شده توسط مجموعه ها

تعریف :  ([N((a,b یک فرآیند پواسون نقطه ای است (a و b بعنوان مجموعه) اگر :

1. تعداد رخدادهای پیش آمده در مجموعه های جدا از هم٬ مستقل باشند.
2. توزیع  ([N((t,t+h  فقط به h و نه به t وابسته باشد.
3. (P(N((t,t+h]) >= 1) =  l  h + o( h
4.  (P(N((t,t+h]) >= 2) = o( h   

 در حاشیه : نکاتی چند در باره ی (o(h : 

• نمادگذاری ایده آل : o_{h --> 0}(h)
• نمادگذاری سنتی : o_h(h)
• f(h) = o(h) اگر lim f(h)/h = 0
• o(h) + o(h) = o(h)
• o(1) + o(h) = o(1)
• o(h)*o(h) = o(h²)
• و ...

متاسفانه منابع جامع و کاملی روی اینترنت و یا کتاب خاصی شامل فرآیند پواسون نقطه ای پیدا نکردم. در صورت یافتن منابع بیشتر و جامع تر و مثال های مفید و یا معرفی منبع خاصی توسط استاد محترم٬ توضیحات را اضافه خواهم کرد.

همانطور که در گذشته اشاره شد٬ توابع احتمال گاما و نمایی به این پرسش پاسخ می دهند که : اگر شخصی در حال نظاره ی یک سلسله از رخدادها که براساس توزیع پواسون با پارامتر  رخداد در هر واحد زمانی روی می دهند٬ باشد٬ آنگاه چه مدت زمانی باید در انتظار بماند تا r اُمین رخداد را مشاهده کند. به مثال های زیر توجه کنید.

مثال اول :  چه مدت زمانی شخصی که در یک باجه ی عوارضی که اتومبیل ها طبق میانگین 1.5=  اتومبیل در هر دقیقه از آن عبور می کنند٬ باید منتظر بماند قبل از اینکه r اُمین قبض عوارضی را بدهد؟ (...,1,2=r)

حال نشان می دهیم که زمان انتظار برای r اُمین رخداد در یک سلسله رویدادها که توزیع شده ی پواسون هستند٬ از قانون احتمال گاما با پارامترهای r و  پیروی می کند. بنابراین تابع جرم احتمال برابر خواهد بود با :

به ویژه٬ زمان انتظار برای اولین رخداد از قانون احتمال نمایی با پارامتر  پیروی خواهد کرد (یا معادل آن٬ از احتمال گاما با پارامترهای 1=r و  پیروی می کند) که تابع چگالی احتمال آن برابر خواهد بود با :

برای اثبات رابطه ی اول٬ فرض کنید برای 0 < t ٬ نشانگر احتمال این باشد که زمان وقوع r اُمین رخداد کمتر یا مساوی t باشد. آنگاه نمایانگر احتمال این است که زمان وقوع r اُمین رخداد٬ بزرگتر از t باشد. به طور معادل٬ احتمال این است که تعداد رخدادهای پیش آمده در زمان 0 تا t ٬ کمتر از r باشد. بنابراین داریم :

با مشتق گرفتن از عبارت فوق نسبت به t ٬ رابطه ی اول٬ اثبات می شود.

مثال دوم : نوزادی را تصور کنید که در زمانهایی تصادفی با میانگین ۶ مرتبه در ساعت٬ گریه می کند. اگر والدین او  تنها هر دو گریه یکبار به او پاسخ دهند٬ احتمال آنکه ده دقیقه یا بیشتر بین دو پاسخ والدین به فرزند٬ فاصله بیفتد٬ چقدر است؟

پاسخ : طبق فرض داده شده (که خیلی هم واقعی نیست)٬ زمان پاسخ T در ساعت های بازه ی زمانی بین دو پاسخ از احتمال گاما با پارامترهای 2 = r  و 6 =  پیروی می کند. در نتیجه :

اگر والدین تنها به هر سه گریه یکبار کودک٬ پاسخ بدهند٬ آنگاه :

بطور کلی تر٬ اگر والدین تنها به هر r اُمین گریه یکبار ِ کودک٬ پاسخ بدهند٬ آنگاه :

 توزیع های مقادیر تصادفی

در نمودارهای زیر چندین مثال از توزیع های احتمال غیریکنواخت را مشاهده می کنید.

Poisson distribution	Binomial distribution
Exponential distribution	Gamma distribution

Exponential Density مقدار λ و مدت زمان تصادفی t را وارد کنید و سپس دکمه ی compute را بزنید.   l t P-value

Poisson Mass Function

مقدار λ و تعداد رخدادها n ٬ را وارد کرده و سپس دکمه ی compute را بزنید تا مقدار( P(X > = n را بیابید.

توزیع گاما

توزیع گاما با پارامتر صحیح a ، زمان انتظار برای a-اُمین رخداد در یک فرآیند پواسون است که به ازای a=1، همان توزیع نمایی، زمان انتظار برای اولین رخداد، است.

تابع چگالی احتمال برای یک توزیع گاما معمولا به صورت زیر می باشد :

که a و b هر دو مثبت تعریف می شوند. این توزیع وقتی استاندارد نامیده می شود که B = 1 باشد. تابع گاما که در فرمول بالا ذکر شده٬ تعریف می شود :

 

• کاربردهای مبتنی بر فواصل زمانی بین رخدادها که در این حالت٬ جمع یک یا چند متغیر نمایی می باشد. مثالهایی از این قبیل کاربرد٬ عبارتند از : مدلهای رده بندی queuing (که در قسمت مثال توزیع نمایی هم به آن اندکی اشاره شده بود)٬ گردش اقلام در فرآیندهای تولید و توزیع کالا٬ لود شدن وب سرورها و حالات بسیار زیاد و متنوعی از تبادلات ارتباطی.
• به عنوان مدلی در مواردی مانند آب و هوا شناسی که در اینجا مدلی کارآمد برای میزان بارش باران می باشد یا مواردی از قبیل خدمات مالی٬ مثلا به عنوان مدلی برای مطالبات بیمه ای یا قراردادهای وام دهی٬ و کلا مواردی که قبلا در احتمال های مربوط به موفقیت و شکست در محاسبات ریسک پذیر٬ بکار برده میشد.

توزیع نمایی

توزیع پواسون را که بخاطر دارید؟ بسیار خب٬ ادامه می دهیم...

رابطه ی بین توزیع پواسون و نمایی

 تنظیم زمان مبنای یک متغیر تصادفی پواسون

فرض کنید  X یک متغیر تصادفی پواسون با مقدار متوسط l بار در هر واحد زمانی باشد. آنگاه ( E(X = l . بنابراین احتمال k بار رخداد در یک واحد زمانی برابر است با  ! P( X = k ) = l^k e^–l/k .

     {W > t } = {X_t = 0}

 هر دو عبارت ذکر می کنند که هیچ رخدادی در t واحد زمانی ِ اول٬ رخ نمی دهد. بنابراین  P( W > t ) = e^{– lt}. و به همین ترتیب تابع توزیع متغیر تصادفی W طبق روش مکمل ها٬ عبارت است از  F (t ) = P( W < t ) = 1 – e^–lt. و نهایتا٬ تابع چگالی متغیر تصادفی W از مشتق گیری  F نسبت به t بدست می آید f (t ) = F'(t ) = l e^–lt برای  t > 0 . این عبارت را تابع چگالی توزیعی به نام توزیع نمایی با مقدار متوسط l می نامیم. میانگین آن برابر است با  l /E(W ) = 1 .

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای λ=0.5,1.0,1.5

توزیع های نمایی بی حافظه هستند

یک خصوصیت مهم توزیع های نمایی٬ "بی حافظگی" آنهاست. بدین معنا که برای  s < t های مثبت٬ داریم   (P(W > t |W > s) = P(W > t – s .

به زبان گفتار٬ خاصیت بی حافظگی را می توان به این صورت بیان کرد که : فرض گیرید که هیچ رخدادی تا زمان s اتفاق نیفتاده باشد. احتمال شرطیِ رخ ندادن هیچ پیشامدی تا زمان بعدی  t ٬ دقیقاً برابر احتمالِ ندیدن هیچ رخدادی در بازه ی زمانی به طول  t – s  می باشد. فرآیند٬ "نمی تواند به یاد آورد" که در گذشته برای s واحد زمانی٬ اجرا شده بوده.

• اگر زمان انتظار تا از کارافتادگی (یا مرگ) یک مولفه٬ یک توزیع نمایی باشد٬ آنگاه احتمال اینکهیک مولفه که قبلا برای مدت s = 5 سال زنده مانده بود٬ برای یک سال دیگر نیز باقی بماند (یعنی در مجموع ۶ سال)٬ دقیقا همان احتمال این است که مولفه ی جدیدی برای مدت زمان  t – s = 1سال٬ زنده باشد.

برای مثال:

یک بانک را در نظر بگیرید. فرض کنید کارمند صندوقداری در آنجا وجود داشته باشد که می تواند در هر دقیقه بطور متوسط٬  مشتری را سرویس دهد. اگر تعداد مشتری هایی که در هر دقیقه به بانک وارد می شوند برابر مقدار متوسط  l باشد٬ می خواهیم محاسبه کنیم چه مدت زمانی هر مراجعه کننده باید منتظر بایستد٬ طول صف چه مقدار خواهد بود و صندوقدار تا چه حد مشغول خواهد بود.

• مقادیر میانگین٬ برای تعیین سرعت رسیدن و سرعت سرویس دهی٬ بکار می روند. اگر مقادیرِ٬ ثابت باشند٬ سیستم یک سیستم قطعی نامیده می شود. آنگاه اگر سرعت میانگین رسیدن به بانک٬ کمتر از سرعت سرویس دهی باشد٬ هیچ گاه صفی تشکیل نخواهد شد. اما اگر این مقدار بیشتر از سرعت سرویس دهی باشد٬ صف نامتناهی خواهد بود.
• هرگاه سرعت رسیدن و سرعت سرویس دهی٬ متغیرهای تصادفی باشند٬ فرض خواهیم کرد که از توزیع های یکسانی پیروی خواهند کرد. در این حالت٬ توزیع نمایی٬ جالبترین توزیع مورد قبول در عین سادگی است. همچنین بسیار به حقیقت نزدیک می باشد.

خصیصه ی کلیدی توزیع های نمایی٬ بی حافظگی٬ در اینجا به این صورت است که زمان رسیدن قبلی٬ مستقل از زمان رسیدن بعدی است (به همین ترتیب برای سرعت سرویس دهی).