پروژه ی درس احتمال

فرآیندهای نقطه ای :

یک تفهیم نوعی برای فرآیند نقطه ای بصورت «توده ی انبوهی از نقاط» می باشد. در واقع می توان گفت یک فرآیند نقطه ای مجموعه ای از زمان ها یا مکان ها و یا هر دو٬ مجموعه ای از رخدادها در زمان یا اشیاء در فضا٬ می باشد.

در فر آیندهای نقطه ای ترتیبی برای داده ها از نظر زمانی و مقداری وجود ندارد.

به عنوان مثال برای فرآیندهای نقطه ای :

• زمان هایی که در یک منطقه ی خاص زلزله رخ می دهد.
• زمان هایی که یک نرون برانگیخته می شود.
• مکان هایی در طول بزرگراه که در آنها تصادفات جاده ای رخ داده است.
• مکان های درختان در یک جنگل
• زمان ها و مکان های زمین لرزه ها
• مکان ستارگان در کهکشان

طرح کلی یک فرآیند نقطه ای به این صورت است که ما مجموعه ای از مکان ها در زمان و/یا  فضا داریم. هر رخداد دارای فقط یک زمان برای وقوع یا یک مکان در فضا است. این مفهوم را می توانیم با نسبت دادن یک اندازه برای هر رخداد در مجموعه٬ تعمیم دهیم. برای مثال٬ بزرگی یک زمین لرزه یا اندازه ی یک درخت یا گونه ی یک ستاره.

نظریه ی فرآیند نقطه ای٬ مدلهای احتمالی ای را ایجاد می کند که رابطه ی بین زمان ها و مکان های رخدادها یا اشیا را با روشهای آماری برای استخراج این قبیل اطلاعات از داده های مشاهده شده٬ شرح می دهد. هدف٬ دریافت یک فهم بهتر از فرآیندهای فیزیکی که به این طرح ها منجر شده اند٬ می باشد. برای تخمین تاثیری که فاکتورهای برونی بر این زمان ها و مکان ها دارند و شاید هم برای پیش بینی رخدادهای مشابه در آینده.

فرآیندهای نقطه ای ممکن است برای تخمین خم های غیرپارامتری٬ نظریه ی نمونه سازی٬ نظریه ی مقدار بی نهایت٬ بازسازی تصاویر و ... به کار برده شود.

فرآیند پواسون نقطه ای :

اسامی را با یکدیگر اشتباه نگیرید!

• توزیع پواسون : یک متغیر تصادفی
• فرآیند پواسون : مجموعه ای از متغیرهای تصادفی اندیس گذاری شده توسط زمان
• فرآیند پواسون نقطه ای : مجموعه ای از متغیرهای تصادفی اندیس گذاری شده توسط مجموعه ها

تعریف :  ([N((a,b یک فرآیند پواسون نقطه ای است (a و b بعنوان مجموعه) اگر :

1. تعداد رخدادهای پیش آمده در مجموعه های جدا از هم٬ مستقل باشند.
2. توزیع  ([N((t,t+h  فقط به h و نه به t وابسته باشد.
3. (P(N((t,t+h]) >= 1) =  l  h + o( h
4.  (P(N((t,t+h]) >= 2) = o( h   

 در حاشیه : نکاتی چند در باره ی (o(h : 

• نمادگذاری ایده آل : o_{h --> 0}(h)
• نمادگذاری سنتی : o_h(h)
• f(h) = o(h) اگر lim f(h)/h = 0
• o(h) + o(h) = o(h)
• o(1) + o(h) = o(1)
• o(h)*o(h) = o(h²)
• و ...

متاسفانه منابع جامع و کاملی روی اینترنت و یا کتاب خاصی شامل فرآیند پواسون نقطه ای پیدا نکردم. در صورت یافتن منابع بیشتر و جامع تر و مثال های مفید و یا معرفی منبع خاصی توسط استاد محترم٬ توضیحات را اضافه خواهم کرد.