پروژه ی درس احتمال

توزیع نمایی

توزیع پواسون را که بخاطر دارید؟ بسیار خب٬ ادامه می دهیم...

رابطه ی بین توزیع پواسون و نمایی

 تنظیم زمان مبنای یک متغیر تصادفی پواسون

فرض کنید  X یک متغیر تصادفی پواسون با مقدار متوسط l بار در هر واحد زمانی باشد. آنگاه ( E(X = l . بنابراین احتمال k بار رخداد در یک واحد زمانی برابر است با  ! P( X = k ) = l^k e^–l/k .

     {W > t } = {X_t = 0}

 هر دو عبارت ذکر می کنند که هیچ رخدادی در t واحد زمانی ِ اول٬ رخ نمی دهد. بنابراین  P( W > t ) = e^{– lt}. و به همین ترتیب تابع توزیع متغیر تصادفی W طبق روش مکمل ها٬ عبارت است از  F (t ) = P( W < t ) = 1 – e^–lt. و نهایتا٬ تابع چگالی متغیر تصادفی W از مشتق گیری  F نسبت به t بدست می آید f (t ) = F'(t ) = l e^–lt برای  t > 0 . این عبارت را تابع چگالی توزیعی به نام توزیع نمایی با مقدار متوسط l می نامیم. میانگین آن برابر است با  l /E(W ) = 1 .

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای λ=0.5,1.0,1.5

توزیع های نمایی بی حافظه هستند

یک خصوصیت مهم توزیع های نمایی٬ "بی حافظگی" آنهاست. بدین معنا که برای  s < t های مثبت٬ داریم   (P(W > t |W > s) = P(W > t – s .

به زبان گفتار٬ خاصیت بی حافظگی را می توان به این صورت بیان کرد که : فرض گیرید که هیچ رخدادی تا زمان s اتفاق نیفتاده باشد. احتمال شرطیِ رخ ندادن هیچ پیشامدی تا زمان بعدی  t ٬ دقیقاً برابر احتمالِ ندیدن هیچ رخدادی در بازه ی زمانی به طول  t – s  می باشد. فرآیند٬ "نمی تواند به یاد آورد" که در گذشته برای s واحد زمانی٬ اجرا شده بوده.

• اگر زمان انتظار تا از کارافتادگی (یا مرگ) یک مولفه٬ یک توزیع نمایی باشد٬ آنگاه احتمال اینکهیک مولفه که قبلا برای مدت s = 5 سال زنده مانده بود٬ برای یک سال دیگر نیز باقی بماند (یعنی در مجموع ۶ سال)٬ دقیقا همان احتمال این است که مولفه ی جدیدی برای مدت زمان  t – s = 1سال٬ زنده باشد.

برای مثال:

یک بانک را در نظر بگیرید. فرض کنید کارمند صندوقداری در آنجا وجود داشته باشد که می تواند در هر دقیقه بطور متوسط٬  مشتری را سرویس دهد. اگر تعداد مشتری هایی که در هر دقیقه به بانک وارد می شوند برابر مقدار متوسط  l باشد٬ می خواهیم محاسبه کنیم چه مدت زمانی هر مراجعه کننده باید منتظر بایستد٬ طول صف چه مقدار خواهد بود و صندوقدار تا چه حد مشغول خواهد بود.

• مقادیر میانگین٬ برای تعیین سرعت رسیدن و سرعت سرویس دهی٬ بکار می روند. اگر مقادیرِ٬ ثابت باشند٬ سیستم یک سیستم قطعی نامیده می شود. آنگاه اگر سرعت میانگین رسیدن به بانک٬ کمتر از سرعت سرویس دهی باشد٬ هیچ گاه صفی تشکیل نخواهد شد. اما اگر این مقدار بیشتر از سرعت سرویس دهی باشد٬ صف نامتناهی خواهد بود.
• هرگاه سرعت رسیدن و سرعت سرویس دهی٬ متغیرهای تصادفی باشند٬ فرض خواهیم کرد که از توزیع های یکسانی پیروی خواهند کرد. در این حالت٬ توزیع نمایی٬ جالبترین توزیع مورد قبول در عین سادگی است. همچنین بسیار به حقیقت نزدیک می باشد.

خصیصه ی کلیدی توزیع های نمایی٬ بی حافظگی٬ در اینجا به این صورت است که زمان رسیدن قبلی٬ مستقل از زمان رسیدن بعدی است (به همین ترتیب برای سرعت سرویس دهی).