پروژه ی درس احتمال -

توزیع گاما

توزیع گاما با پارامتر صحیح a ، زمان انتظار برای a-اُمین رخداد در یک فرآیند پواسون است که به ازای a=1، همان توزیع نمایی، زمان انتظار برای اولین رخداد، است.

تابع چگالی احتمال برای یک توزیع گاما معمولا به صورت زیر می باشد :

که a و b هر دو مثبت تعریف می شوند. این توزیع وقتی استاندارد نامیده می شود که B = 1 باشد. تابع گاما که در فرمول بالا ذکر شده٬ تعریف می شود :

$\begin{displaymath}\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t} dt \end{displaymath}$

و این تابع یک خصوصیت مفید دارد به این شرح که :

$\begin{displaymath}\Gamma(\alpha + 1)=\alpha \Gamma(\alpha) \end{displaymath}$

توزیع گاما داری دو پارامتر مقیاس (B) و شکل (a) می باشد که می توانند مقادیر غیرصحیح را نیز شامل شوند. مثلا وقتی برای تعریف مجموع تعدادی از متغیرهای توزیع شده نمایی٬ به کار رود٬ فاکتور شکل٬ a ٬ نمایانگر تعداد متغیرها و فاکتور مقیاس٬ B ٬ نمایانگر میانگین توزیع نمایی می باشند.

نمونه هایی از توزیع گاما برای مقدار متغیر a و مقدار ثابت B=1 را می توانید در شکل زیر مشاهده کنید. دقت کنید که برای a <= 1 ٬ توزیع همواره نزولی است.

حال نمونه هایی از توزیع گاما برای مقدار ثابت a=2 و مقادیر متغیر B را می توانید در شکل زیر مشاهده کنید. همانطور که در شکل می توانید ببینید٬ B نمودار را در راستای محور x ها میکشد.

میانگین توزیع گاما برابر ضرب a و B است. واریانس آن نیز حاصل ضرب a در مربع B می باشد.

mean = a B
variance = a B²

کاربردهای توزیع گاما را می توان تحت دو عنوان زیر تقسیم بندی کرد :

کاربردهای مبتنی بر فواصل زمانی بین رخدادها که در این حالت٬ جمع یک یا چند متغیر نمایی می باشد. مثالهایی از این قبیل کاربرد٬ عبارتند از : مدلهای رده بندی queuing (که در قسمت مثال توزیع نمایی هم به آن اندکی اشاره شده بود)٬ گردش اقلام در فرآیندهای تولید و توزیع کالا٬ لود شدن وب سرورها و حالات بسیار زیاد و متنوعی از تبادلات ارتباطی.
به عنوان مدلی در مواردی مانند آب و هوا شناسی که در اینجا مدلی کارآمد برای میزان بارش باران می باشد یا مواردی از قبیل خدمات مالی٬ مثلا به عنوان مدلی برای مطالبات بیمه ای یا قراردادهای وام دهی٬ و کلا مواردی که قبلا در احتمال های مربوط به موفقیت و شکست در محاسبات ریسک پذیر٬ بکار برده میشد.

لازم به ذکر است که توزیع نمایی٬ حالت خاصی از توزیع گاما است هنگامیکه a=1 و B = 1/lambda .

نوع خاص دیگری از توزیع گاما٬ توزیع ارلانگ می باشد که برای مدل سازی مجموع فواصل زمانی مربوط به چندین رخداد پواسون٬ بکار می رود. در اینجا٬ پارامتر a نمایانگر تعداد رخدادها و پارامتر B نمایانگر میانگین فواصل زمانی بین رخدادها می باشند.

+ نوشته شده در جمعه شانزدهم بهمن 1383ساعت 22:22 توسط سیما سلیمانی نیا |

پروژه ی درس احتمال

نوشته های پیشین

پیوندها