پروژه ی درس احتمال

همانطور که در گذشته اشاره شد٬ توابع احتمال گاما و نمایی به این پرسش پاسخ می دهند که : اگر شخصی در حال نظاره ی یک سلسله از رخدادها که براساس توزیع پواسون با پارامتر  رخداد در هر واحد زمانی روی می دهند٬ باشد٬ آنگاه چه مدت زمانی باید در انتظار بماند تا r اُمین رخداد را مشاهده کند. به مثال های زیر توجه کنید.

مثال اول :  چه مدت زمانی شخصی که در یک باجه ی عوارضی که اتومبیل ها طبق میانگین 1.5=  اتومبیل در هر دقیقه از آن عبور می کنند٬ باید منتظر بماند قبل از اینکه r اُمین قبض عوارضی را بدهد؟ (...,1,2=r)

حال نشان می دهیم که زمان انتظار برای r اُمین رخداد در یک سلسله رویدادها که توزیع شده ی پواسون هستند٬ از قانون احتمال گاما با پارامترهای r و  پیروی می کند. بنابراین تابع جرم احتمال برابر خواهد بود با :

به ویژه٬ زمان انتظار برای اولین رخداد از قانون احتمال نمایی با پارامتر  پیروی خواهد کرد (یا معادل آن٬ از احتمال گاما با پارامترهای 1=r و  پیروی می کند) که تابع چگالی احتمال آن برابر خواهد بود با :

برای اثبات رابطه ی اول٬ فرض کنید برای 0 < t ٬ نشانگر احتمال این باشد که زمان وقوع r اُمین رخداد کمتر یا مساوی t باشد. آنگاه نمایانگر احتمال این است که زمان وقوع r اُمین رخداد٬ بزرگتر از t باشد. به طور معادل٬ احتمال این است که تعداد رخدادهای پیش آمده در زمان 0 تا t ٬ کمتر از r باشد. بنابراین داریم :

با مشتق گرفتن از عبارت فوق نسبت به t ٬ رابطه ی اول٬ اثبات می شود.

مثال دوم : نوزادی را تصور کنید که در زمانهایی تصادفی با میانگین ۶ مرتبه در ساعت٬ گریه می کند. اگر والدین او  تنها هر دو گریه یکبار به او پاسخ دهند٬ احتمال آنکه ده دقیقه یا بیشتر بین دو پاسخ والدین به فرزند٬ فاصله بیفتد٬ چقدر است؟

پاسخ : طبق فرض داده شده (که خیلی هم واقعی نیست)٬ زمان پاسخ T در ساعت های بازه ی زمانی بین دو پاسخ از احتمال گاما با پارامترهای 2 = r  و 6 =  پیروی می کند. در نتیجه :

اگر والدین تنها به هر سه گریه یکبار کودک٬ پاسخ بدهند٬ آنگاه :

بطور کلی تر٬ اگر والدین تنها به هر r اُمین گریه یکبار ِ کودک٬ پاسخ بدهند٬ آنگاه :