پروژه ی درس احتمال

و در آخر ...

probability — Fri, 18 Feb 2005 13:21:18 GMT

و در آخر نهایت تشکر و سپاسگذاری خود را از توجهات و راهنمایی های استاد محترم در طی انجام پروژه ابراز می دارم.

واضح است که در صورت در اختیار داشتن فرصت بیشتر٬ قادر به تهیه ی مطالب آموزشی قوی تر٬ دقیق تر و جامع تری بودیم. بهرحال سعی خود را کردم که بهترین منابع و ساده ترین آنها را جمع آوری کنم. امیدوارم که مورد استفاده قرار گرفته و مفید واقع شوند.

با تشکر مجدد از زحمات شما در طول ترم و همچنین بعد از آن

سیما سلیمانی نیا

زمستان 83

probability — Fri, 18 Feb 2005 08:37:18 GMT

توضیحی دقیق تر برای فرآیند پواسون نقطه ای :

یک فرآیند نقطه ای پواسونبا شدت ٬ مجموعه ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده روی فضای احتمال است بطوریکه :

برای هر ٬ یک فضای اندازه روی است.
یک پواسون با میانگین است که :
اگر مجموعه های مجزا از هم باشند٬ آنگاه متغیر تصادفی مستقل هستند.

متداول ترین راه ساختن یک ٬ تعریف کردن

برای دنباله هایی از متغیرهای تصادفیکه نقطه های فرآیند نامیده می شوند٬ می باشد.

probability — Fri, 11 Feb 2005 16:09:18 GMT

فرآیندهای نقطه ای :

یک تفهیم نوعی برای فرآیند نقطه ای بصورت «توده ی انبوهی از نقاط» می باشد. در واقع می توان گفت یک فرآیند نقطه ای مجموعه ای از زمان ها یا مکان ها و یا هر دو٬ مجموعه ای از رخدادها در زمان یا اشیاء در فضا٬ می باشد.

در فر آیندهای نقطه ای ترتیبی برای داده ها از نظر زمانی و مقداری وجود ندارد.

به عنوان مثال برای فرآیندهای نقطه ای :

زمان هایی که در یک منطقه ی خاص زلزله رخ می دهد.
زمان هایی که یک نرون برانگیخته می شود.
مکان هایی در طول بزرگراه که در آنها تصادفات جاده ای رخ داده است.
مکان های درختان در یک جنگل
زمان ها و مکان های زمین لرزه ها
مکان ستارگان در کهکشان

طرح کلی یک فرآیند نقطه ای به این صورت است که ما مجموعه ای از مکان ها در زمان و/یا فضا داریم. هر رخداد دارای فقط یک زمان برای وقوع یا یک مکان در فضا است. این مفهوم را می توانیم با نسبت دادن یک اندازه برای هر رخداد در مجموعه٬ تعمیم دهیم. برای مثال٬ بزرگی یک زمین لرزه یا اندازه ی یک درخت یا گونه ی یک ستاره.

نظریه ی فرآیند نقطه ای٬ مدلهای احتمالی ای را ایجاد می کند که رابطه ی بین زمان ها و مکان های رخدادها یا اشیا را با روشهای آماری برای استخراج این قبیل اطلاعات از داده های مشاهده شده٬ شرح می دهد. هدف٬ دریافت یک فهم بهتر از فرآیندهای فیزیکی که به این طرح ها منجر شده اند٬ می باشد. برای تخمین تاثیری که فاکتورهای برونی بر این زمان ها و مکان ها دارند و شاید هم برای پیش بینی رخدادهای مشابه در آینده.

فرآیندهای نقطه ای ممکن است برای تخمین خم های غیرپارامتری٬ نظریه ی نمونه سازی٬ نظریه ی مقدار بی نهایت٬ بازسازی تصاویر و ... به کار برده شود.

فرآیند پواسون نقطه ای :

اسامی را با یکدیگر اشتباه نگیرید!

توزیع پواسون : یک متغیر تصادفی
فرآیند پواسون : مجموعه ای از متغیرهای تصادفی اندیس گذاری شده توسط زمان
فرآیند پواسون نقطه ای : مجموعه ای از متغیرهای تصادفی اندیس گذاری شده توسط مجموعه ها

تعریف : ([N((a,b یک فرآیند پواسون نقطه ای است (a و b بعنوان مجموعه) اگر :

تعداد رخدادهای پیش آمده در مجموعه های جدا از هم٬ مستقل باشند.
توزیع ([N((t,t+h فقط به h و نه به t وابسته باشد.
(P(N((t,t+h]) >= 1) = l h + o( h
(P(N((t,t+h]) >= 2) = o( h

در حاشیه : نکاتی چند در باره ی (o(h :

نمادگذاری ایده آل : o_{h --> 0}(h)
نمادگذاری سنتی : o_h(h)
f(h) = o(h) اگر lim f(h)/h = 0
o(h) + o(h) = o(h)
o(1) + o(h) = o(1)
o(h)*o(h) = o(h²)
و ...

متاسفانه منابع جامع و کاملی روی اینترنت و یا کتاب خاصی شامل فرآیند پواسون نقطه ای پیدا نکردم. در صورت یافتن منابع بیشتر و جامع تر و مثال های مفید و یا معرفی منبع خاصی توسط استاد محترم٬ توضیحات را اضافه خواهم کرد.

probability — Mon, 07 Feb 2005 19:55:18 GMT

همانطور که در گذشته اشاره شد٬ توابع احتمال گاما و نمایی به این پرسش پاسخ می دهند که : اگر شخصی در حال نظاره ی یک سلسله از رخدادها که براساس توزیع پواسون با پارامتر رخداد در هر واحد زمانی روی می دهند٬ باشد٬ آنگاه چه مدت زمانی باید در انتظار بماند تا r اُمین رخداد را مشاهده کند. به مثال های زیر توجه کنید.

مثال اول : چه مدت زمانی شخصی که در یک باجه ی عوارضی که اتومبیل ها طبق میانگین 1.5= اتومبیل در هر دقیقه از آن عبور می کنند٬ باید منتظر بماند قبل از اینکه r اُمین قبض عوارضی را بدهد؟ (...,1,2=r)

حال نشان می دهیم که زمان انتظار برای r اُمین رخداد در یک سلسله رویدادها که توزیع شده ی پواسون هستند٬ از قانون احتمال گاما با پارامترهای r و پیروی می کند. بنابراین تابع جرم احتمال برابر خواهد بود با :

به ویژه٬ زمان انتظار برای اولین رخداد از قانون احتمال نمایی با پارامتر پیروی خواهد کرد (یا معادل آن٬ از احتمال گاما با پارامترهای 1=r و پیروی می کند) که تابع چگالی احتمال آن برابر خواهد بود با :

برای اثبات رابطه ی اول٬ فرض کنید برای 0 < t ٬ نشانگر احتمال این باشد که زمان وقوع r اُمین رخداد کمتر یا مساوی t باشد. آنگاه نمایانگر احتمال این است که زمان وقوع r اُمین رخداد٬ بزرگتر از t باشد. به طور معادل٬ احتمال این است که تعداد رخدادهای پیش آمده در زمان 0 تا t ٬ کمتر از r باشد. بنابراین داریم :

با مشتق گرفتن از عبارت فوق نسبت به t ٬ رابطه ی اول٬ اثبات می شود.

مثال دوم : نوزادی را تصور کنید که در زمانهایی تصادفی با میانگین ۶ مرتبه در ساعت٬ گریه می کند. اگر والدین او تنها هر دو گریه یکبار به او پاسخ دهند٬ احتمال آنکه ده دقیقه یا بیشتر بین دو پاسخ والدین به فرزند٬ فاصله بیفتد٬ چقدر است؟

پاسخ : طبق فرض داده شده (که خیلی هم واقعی نیست)٬ زمان پاسخ T در ساعت های بازه ی زمانی بین دو پاسخ از احتمال گاما با پارامترهای 2 = r و 6 = پیروی می کند. در نتیجه :

اگر والدین تنها به هر سه گریه یکبار کودک٬ پاسخ بدهند٬ آنگاه :

بطور کلی تر٬ اگر والدین تنها به هر r اُمین گریه یکبار ِ کودک٬ پاسخ بدهند٬ آنگاه :

probability — Mon, 07 Feb 2005 16:58:18 GMT

توزیع های مقادیر تصادفی

در نمودارهای زیر چندین مثال از توزیع های احتمال غیریکنواخت را مشاهده می کنید.

Poisson distribution

Binomial distribution

Exponential distribution

Gamma distribution

Exponential Density

مقدار λ و مدت زمان تصادفی t را وارد کنید و سپس دکمه ی compute را بزنید.

l t P-value

Poisson Mass Function

مقدار λ و تعداد رخدادها n ٬ را وارد کرده و سپس دکمه ی compute را بزنید تا مقدار( P(X > = n را بیابید.

probability — Fri, 04 Feb 2005 18:51:18 GMT

توزیع گاما

توزیع گاما با پارامتر صحیح a ، زمان انتظار برای a-اُمین رخداد در یک فرآیند پواسون است که به ازای a=1، همان توزیع نمایی، زمان انتظار برای اولین رخداد، است.

تابع چگالی احتمال برای یک توزیع گاما معمولا به صورت زیر می باشد :

که a و b هر دو مثبت تعریف می شوند. این توزیع وقتی استاندارد نامیده می شود که B = 1 باشد. تابع گاما که در فرمول بالا ذکر شده٬ تعریف می شود :

و این تابع یک خصوصیت مفید دارد به این شرح که :

توزیع گاما داری دو پارامتر مقیاس (B) و شکل (a) می باشد که می توانند مقادیر غیرصحیح را نیز شامل شوند. مثلا وقتی برای تعریف مجموع تعدادی از متغیرهای توزیع شده نمایی٬ به کار رود٬ فاکتور شکل٬ a ٬ نمایانگر تعداد متغیرها و فاکتور مقیاس٬ B ٬ نمایانگر میانگین توزیع نمایی می باشند.

نمونه هایی از توزیع گاما برای مقدار متغیر a و مقدار ثابت B=1 را می توانید در شکل زیر مشاهده کنید. دقت کنید که برای a <= 1 ٬ توزیع همواره نزولی است.

حال نمونه هایی از توزیع گاما برای مقدار ثابت a=2 و مقادیر متغیر B را می توانید در شکل زیر مشاهده کنید. همانطور که در شکل می توانید ببینید٬ B نمودار را در راستای محور x ها میکشد.

میانگین توزیع گاما برابر ضرب a و B است. واریانس آن نیز حاصل ضرب a در مربع B می باشد.

mean = a B
variance = a B²

کاربردهای توزیع گاما را می توان تحت دو عنوان زیر تقسیم بندی کرد :

کاربردهای مبتنی بر فواصل زمانی بین رخدادها که در این حالت٬ جمع یک یا چند متغیر نمایی می باشد. مثالهایی از این قبیل کاربرد٬ عبارتند از : مدلهای رده بندی queuing (که در قسمت مثال توزیع نمایی هم به آن اندکی اشاره شده بود)٬ گردش اقلام در فرآیندهای تولید و توزیع کالا٬ لود شدن وب سرورها و حالات بسیار زیاد و متنوعی از تبادلات ارتباطی.
به عنوان مدلی در مواردی مانند آب و هوا شناسی که در اینجا مدلی کارآمد برای میزان بارش باران می باشد یا مواردی از قبیل خدمات مالی٬ مثلا به عنوان مدلی برای مطالبات بیمه ای یا قراردادهای وام دهی٬ و کلا مواردی که قبلا در احتمال های مربوط به موفقیت و شکست در محاسبات ریسک پذیر٬ بکار برده میشد.

لازم به ذکر است که توزیع نمایی٬ حالت خاصی از توزیع گاما است هنگامیکه a=1 و B = 1/lambda .

نوع خاص دیگری از توزیع گاما٬ توزیع ارلانگ می باشد که برای مدل سازی مجموع فواصل زمانی مربوط به چندین رخداد پواسون٬ بکار می رود. در اینجا٬ پارامتر a نمایانگر تعداد رخدادها و پارامتر B نمایانگر میانگین فواصل زمانی بین رخدادها می باشند.

probability — Sun, 30 Jan 2005 21:00:18 GMT

توزیع نمایی

توزیع پواسون را که بخاطر دارید؟ بسیار خب٬ ادامه می دهیم...

رابطه ی بین توزیع پواسون و نمایی

تنظیم زمان مبنای یک متغیر تصادفی پواسون

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پواسون با مقدار متوسط l بار در هر واحد زمانی باشد. آنگاه ( E(X = l . بنابراین احتمال k بار رخداد در یک واحد زمانی برابر است با ! P( X = k ) = l^ke^–l/k .

بطور مثال اگر X دارای مقدار متوسط ۳ = l در هر ساعت باشد٬ آنگاه احتمال مشاهده ی دقیقاً ۲ رخداد در هر ساعت برابر 3²e^–3/2! = 0.2240 می باشد.

حال فرض کنید بخواهیم همین سوال را برای حالتی پاسخ دهیم که شامل یک بازه ی زمانی t > 0 باشد که t بیشتر از یک واحد زمانی باشد. آنگاه متغیر تصادفی جدیدی X_t خواهیم داشت که یک توزیع پواسون با مقدار متوسط l t دارد. آنگاه احتمال مشاهده ی دقیقاً k رخداد در t واحد زمانی٬ برابر است با ! P(X_t = k ) = ( lt )^ke^–lt/k .

همان مثال بالا با ۳ = l در هر ساعت را در نظر می گیریم. آنگاه احتمال وقوع هیچ رخداد در ۲۰ دقیقه (یعنی ۳/۱ یک ساعت) برابر است با e^–1 = 0.3679 ٬ زیرا tl = (3)(1/3) = 1 .

توزیع زمان های انتظار در یک فرآیند پواسون

حال یک فرآیند پواسون با مقدار متوسط l در هر واحد زمانی و متغیر تصادفی W در نظر می گیریم که در آن متغیر تصادفی W زمانی است که باید تا وقوع رخداد بعدی صبر کرد. دو پیشامد زیر معادل هستند :

{W > t } = {X_t = 0}

هر دو عبارت ذکر می کنند که هیچ رخدادی در t واحد زمانی ِ اول٬ رخ نمی دهد. بنابراین P( W > t ) = e^{– lt}. و به همین ترتیب تابع توزیع متغیر تصادفی W طبق روش مکمل ها٬ عبارت است از F (t ) = P( W < t ) = 1 – e^–lt. و نهایتا٬ تابع چگالی متغیر تصادفی W از مشتق گیری F نسبت به t بدست می آید f (t ) = F'(t ) = l e^–lt برای t > 0 . این عبارت را تابع چگالی توزیعی به نام توزیع نمایی با مقدار متوسط l می نامیم. میانگین آن برابر است با l /E(W ) = 1 .

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای λ=0.5,1.0,1.5

توزیع های نمایی بی حافظه هستند

یک خصوصیت مهم توزیع های نمایی٬ "بی حافظگی" آنهاست. بدین معنا که برای s < t های مثبت٬ داریم (P(W > t |W > s) = P(W > t – s .

به زبان گفتار٬ خاصیت بی حافظگی را می توان به این صورت بیان کرد که : فرض گیرید که هیچ رخدادی تا زمان s اتفاق نیفتاده باشد. احتمال شرطیِ رخ ندادن هیچ پیشامدی تا زمان بعدی t ٬ دقیقاً برابر احتمالِ ندیدن هیچ رخدادی در بازه ی زمانی به طول t – s می باشد. فرآیند٬ "نمی تواند به یاد آورد" که در گذشته برای s واحد زمانی٬ اجرا شده بوده.

اگر زمان انتظار تا از کارافتادگی (یا مرگ) یک مولفه٬ یک توزیع نمایی باشد٬ آنگاه احتمال اینکهیک مولفه که قبلا برای مدت s = 5 سال زنده مانده بود٬ برای یک سال دیگر نیز باقی بماند (یعنی در مجموع ۶ سال)٬ دقیقا همان احتمال این است که مولفه ی جدیدی برای مدت زمان t – s = 1سال٬ زنده باشد.

برای مثال:

یک بانک را در نظر بگیرید. فرض کنید کارمند صندوقداری در آنجا وجود داشته باشد که می تواند در هر دقیقه بطور متوسط٬ مشتری را سرویس دهد. اگر تعداد مشتری هایی که در هر دقیقه به بانک وارد می شوند برابر مقدار متوسط l باشد٬ می خواهیم محاسبه کنیم چه مدت زمانی هر مراجعه کننده باید منتظر بایستد٬ طول صف چه مقدار خواهد بود و صندوقدار تا چه حد مشغول خواهد بود.

مقادیر میانگین٬ برای تعیین سرعت رسیدن و سرعت سرویس دهی٬ بکار می روند. اگر مقادیرِ٬ ثابت باشند٬ سیستم یک سیستم قطعی نامیده می شود. آنگاه اگر سرعت میانگین رسیدن به بانک٬ کمتر از سرعت سرویس دهی باشد٬ هیچ گاه صفی تشکیل نخواهد شد. اما اگر این مقدار بیشتر از سرعت سرویس دهی باشد٬ صف نامتناهی خواهد بود.
هرگاه سرعت رسیدن و سرعت سرویس دهی٬ متغیرهای تصادفی باشند٬ فرض خواهیم کرد که از توزیع های یکسانی پیروی خواهند کرد. در این حالت٬ توزیع نمایی٬ جالبترین توزیع مورد قبول در عین سادگی است. همچنین بسیار به حقیقت نزدیک می باشد.

خصیصه ی کلیدی توزیع های نمایی٬ بی حافظگی٬ در اینجا به این صورت است که زمان رسیدن قبلی٬ مستقل از زمان رسیدن بعدی است (به همین ترتیب برای سرعت سرویس دهی).

probability — Wed, 19 Jan 2005 15:05:18 GMT

مثال: فرض کنید هر مایل مربع از سطح زمین هر سال با یک شهاب سنگ با اندازه های مشخص برخورد می کند. چند مایل مربع از سطح زمین با هیچ شهاب سنگی برخورد نمی کند؟ و چه مقداری با بیشتر از ۵ شهاب سنگ برخورد می کند؟ روی عدد ۱ در قسمت "تعداد مورد انتظار وقوع رخداد در هر آزمایش" و روی 200,000,000 (مایل مربع مساحت زمین) در قسمت "تعداد آزمایشها" کلیک کنید. سپس دکمه ی Compute را بزنید. جواب این است که 73,575,888 مایل مربع٬ بطور کلی از بمباران در امان می ماند و 731,969 مایل مربع ۵ بار یا بیشتر مورد ضربه قرار می گیرد.

( [مایل مربع ۴ مرتبه یا کمتر ضربه خورده] 199,268,031 - 200,000,000 = 731,969 )

(Expected
occurrences
per trial):

Number
of
trials:

r تعداد رخدادها	*p(X=r)*	*p(X= <r)*	تعداد آزمایشهای مورد انتظار با r وقوع	تعداد آزمایش با r تعداد وقوع یا کمتر

خود٬ اعداد مثال فوق الذکر را وارد کرده و نتیجه را اینجا قرار داده ام. اما با عوض کردن اعداد می توانید ازcalculator استفاده کنید. در ضمن اصلا از قرار دادن این calculator در وبلاگ احساس خوبی ندارم٬ چون تمام قالب صفحه را بهم ریخته. (سعی میکنم در اولین فرصت ممکن روی قالب کار کنم)

پیوست: خواستم فقط اشاره کنم که فراموش نکرده ام که قرار بود روی کاربرد پواسون در biology و نظریه کنترل ترافیک کار کنم. مشغول هستم. راستی اگر استاد محترم منابعی در ذهن دارید که ممکن است در این زمینه ها کمکم کند خوشحال می شوم بدانم٬ چون متاسفانه منابع چشمگیر و چندان به درد بخوری نتوانسته ام پیدا کنم. فعلا مشغول خواندن همان اندک یافت شده ها هستم...

probability — Sat, 15 Jan 2005 11:21:18 GMT

هنوز دقیقا نمی دانم نحوه ی ارسال یا نوشتن مطالب چگونه باشد. تصمیم گرفتم در حال حاضر هر مطلبی که آماده می شود را در همین وبلاگ قرار دهم. سپس وقتی مطالب آموزشی کامل شد٬ آنها را مرتب کرده و با ترتیب و ساختار مناسبی برای قرار گرفتن در سایت درس٬ بفرستم. پس در حال حاضر مطالب را بدون ترتیب خاصی روی همین وبلاگ قرار میدهم تا در نهایت به ساختار درست دست پیدا کنم.

توزیع پواسون

توزیع پواسون یک توزیع گسسته است که در مقادیر ...,r=0,1,2,3 رخ می دهد. اغلب به عنوان مدلی برای رخدادهایی که در یک بازه ی زمانی خاص اتفاق میفتند٬ مورد استفاده قرار می گیرد.

تابع توزیع برای توزیع پواسون عبارت است از :

که در آن:

=mean and variance

...e = 2.718281828
...,r=0,1,2

توزیع پواسون توزیعی برای رخدادهای کمیاب است. موقعیتهایی که بطور مثال می توانند منجر به یک توزیع پواسون شوند عبارتند از :

تصادف ها در یک بازه ی زمانی خاص
تلفنهای دریافت شده در طول یک بازه ی زمانی
تعداد اتومبیلهای گذرنده از زیر یک پل در یک دوره ی زمانی داده شده

توزیع پواسون مثالی از یک تابع چگالی احتمال است٬ زیرا

مثال :

میانگین تعداد باکتری ها در هر میلی لیتر از مایع برابر ۴ شناخته شده است. فرض کنید از یک توزیع پواسون پیروی کند. پیدا کنید احتمال اینکه :

a) در ۱ میلی لیتر از مایع داشته باشیم

هیچ باکتری
۲ باکتری
بیشتر از ۵ باکتری

b) در ۳ میلی لیتر از مایع کمتر از ۲ باکتری موجود باشد

کاربردهای توزیع پواسون:

توزیع پواسون کاربردهای مختلف و متنوعی دارد. یکی از این کاربردها نظریه ی گردش ترافیک می باشد که می تواند برای تعیین تعداد اتومبیلها در یک طول ثابت از جاده یا تعیین تعداد اتومبیلهای گذرنده از یک نقطه در یک بازه ی زمانی خاص٬ مورد استفاده قرار گیرد. این می تواند به حل مشکلات ترافیکی کمک کند٬ مثلا برای تعیین اینکه آیا چراغهای راهنمایی برای یک قسمت خاص از جاده برای کنترل جریان ترافیک مورد نیاز هستند یا خیر.

مثال:

در آزمایشی انجام شده با استفاده از توزیع پواسون٬ تعداد اتومبیلهای گذرنده از زیر یک پل عابر پیاده در هر دقیقه٬ در کل مدت ۲۰ دقیقه ای٬ ثبت شد . نتایج آن به شرح زیر است :

از آنجایی که تعداد اتومبیلهایی که از زیر پل عبور کردند بین ۶ و ۲۳ بود٬ انتظار داریم جمع احتمال ها تقریبا برابر با ۱ بشود. اگر اعداد 0,1,2,3,4,5 و ...,24,25 را نیز اضافه می کردیم٬ از آنجایی که توزیع پواسون یک تابع چگالی احتمال است٬ مجموع احتمالات برابر عدد ۱ می شد.

نتیجه گیری : این نشان می دهد که یک جریان یکنواخت ترافیکی در زیر این پل وجود دارد٬ لذا مقیاس کنترل ترافیکی برای این بخش از جاده مورد نیاز نیست.

دیگر کاربردهای توزیع پواسون :

صنعت: یافتن قابلیت اعتبار ماشین آلات با نگاه کردن به تعداد ازکارافتادگی ها در یک دوره ی داده شده

کشاورزی و جانورشناسی: توزیع گیاهان و جانوران از توزیع پواسون پیروی می کند.

زیست شناسی : نمونه گیری از باکتری ها در یک حجم داده شده و تخمین ارقام در سری های رقیق سازی شده

پزشکی : توزیع پواسون می تواند برای شمارش تعداد قربانی های یک بیماری خاص مثلا تعیین تعداد مرگ و میرهای ناشی از مالاریا در یک سال٬ مورد استفاده قرار گیرد.

مخابرات : تعداد تماس ها در یک زمان داده شده از توزیع پواسون پیروی می کند که می تواند مثلا برای تعیین تعداد خطوط آزاد بکار رود.

رده بندی ها و صفوف انتظار : توزیع پواسون می تواند جهت بسیاری از صف ها و رده بندی ها مورد استفاده قرار گیرد. مثلا برای صف های انتظار پزشکان٬ بیمارستانها٬ جاده ها٬ ترافیک هوایی٬ ...

مثال های دیگر : تعداد کلمات بدترجمه شده در یک متن٬ تعداد کلمات بدچاپ شده در متن٬ تعداد تکرار کلمه ای خاص در متن موردنظر٬ مقدار ریزش باران در یک ماه٬ تعداد آتش سوزی های گزارش شده در یک دوره ی زمانی ثابت٬ ...

تقریب پواسون به دوجمله ای :

در شرایط خاص (n>50, p<0.1) می توانیم از توزیع پواسون به عنوان تقریبی برای توزیع دوجمله ای استفاده کنیم. این یک مزیت است زیرا توزیع پواسون کمی کمتر وقت گیر است.

مثال :

یک کارخانه توپ های پارچه را در بسته های ۵۰۰ تایی بسته بندی می کند. احتمال آنکه یک توپ پارچه معیوب باشد 0.002 است. احتمال اینکه یک بسته دارای دو توپ پارچه ی معیوب باشد را پیدا کنید.

X~Bin(500,0.002)

با استفاده از توزیع دو جمله ای:

P(X=r) = ⁿC_r P^r (1-P)^(n-1)

= ⁵⁰⁰C₂ (0.002)² (0.998)⁴⁹⁸ = 0.1841238 = 0.18 (2.s.f)

:با استفاده از توزیع پواسون

probability — Fri, 14 Jan 2005 17:47:18 GMT

اولین بار که نام متغیرهای تصادفی پواسون را شنیده بودم، از آنجا که پواسون در لغت به معنای ماهی می باشد (در زبان فرانسه)، کنجکاو شده بودم تا بدانم دلیل این نام گذاری یا به عبارتی وجه تسمیه ی آن چیست؟! اما خب ... با اولین جستجو متوجه شدم دلیل آن فقط و فقط به خاطر نام شخص سیمون دنیس پواسون (Simon Denis Poisson)، یعنی کسی که برای اولین بار این مفهوم را معرفی کرد، می باشد.

جناب پواسون (۱۸۴۰-۱۷۸۱)، ریاضیدان و فیزیکدان معروف فرانسوی، به

عنوان اولین کاربرد توزیع پواسون، از آن برای تشریح تعداد مرگ ومیرهایی که

توسط ضربات سُم اسبان در ارتش پروس به وقوع پیوسته بود، استفاده کرد !!!